Halaman
105Dalam pertunjukan sirkus, seringkali terdapat peragaan kesetimbanganseperti yang dapat Anda lihat pada gambar. Dalam peragaan tersebutbeberapa orang pemain sirkus saling menumpukkan diri satu sama lain,namun pemain yang dijadikan tumpuan tetap dapat menjaga agar setiappemain dapat berdiri dan melakukan atraksinya. Bagaimanakah cara pemainsirkus tersebut melakukan peragaan kesetimbangan dan tidak terjatuh?Mengapa pemain sirkus pada gambar dapat berdiri di atas papan berodasilinder dan tidak tergelincir?Prinsip Fisika yang mendasari peragaan para pemain sirkus tersebut akandibahas dalam bab ini, yaitu mengenai kinematika dan dinamika gerak rotasiserta kesetimbangan benda tegar.Gerak RotasidanKesetimbanganBenda TegarPada bab ini, Anda akan diajak untuk dapat menerapkan konsep dan prinsip mekanika klasiksistem kontinu dalam menyelesaikan masalah dengan cara memformulasikan hubungan antarakonsep torsi, momentum sudut, dan momen inersia berdasarkan Hukum Kedua Newton,serta penerapannya dalam masalah benda tegar.6B a b 6Sumber: www.techtri es.chA.KinematikaRotasiB.Momen Gaya danMomen InersiaC.Dinamika RotasiD.KesetimbanganBenda Tegar
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI106Dalam kehidupan sehari-hari, Anda banyak menjumpai contoh gerakrotasi. Bumi berotasi pada sumbunya untuk bergerak mengelilingi Mataharidalam orbit yang bentuknya elips. Demikian juga Bulan yang berotasi padasumbunya untuk bergerak mengelilingi Bumi.Mobil yang bergerak mengelilingi suatu sudut juga bergerak dalam busurmelingkar. Kajian tentang gerak melingkar telah Anda pelajari di Bab 1.Dalam subbab ini, akan dibahas gerak benda yang berotasi pada sumbunyayang ditinjau secara umum menggunakan fungsi turunan dan integral.1. Posisi Sudut dan Perpindahan SudutDi Kelas X, Anda telah mempelajari bahwa posisi sudut suatu partikelyang bergerak melingkar dinyatakan sebagai θ dengan satuannya dalamradian atau derajat. Apabila partikel tersebut berpindah, perpindahannyadisebut perpindahan sudut.Perhatikanlah Gambar 6.1 berikut. Gambar tersebut menunjukkan sebuahpartikel yang bergerak dalam lintasan berbentuk lingkaran berjari-jari R.Partikel tersebut berpindah dari titik P ke titik Q dengan jarak perpindahanlinear Δs = sQ – sP dan perpindahan sudut Δθ = θQ – θP. Oleh karena itu,dapat dinyatakan hubungan sebagai berikut.srθΔΔ=(6-1)dengan: Δθ= perpindahan sudut (rad),Δs= perpindahan linear (m), danr= jari-jari lingkaran (m).2. Kecepatan SudutBerdasarkan definisi kecepatan, kecepatan sudut adalah perubahan posisisudut partikel per satuan waktu. Kecepatan sudut juga terbagi atas dua,yaitu kecepatan sudut rata-rata dan kecepatan sudut sesaat. Analisa keduajenis kecepatan tersebut ditinjau dari perhitungan integral dan turunan akandibahas pada bagian berikut.a. Kecepatan Sudut Rata-RataPerpindahan sudut yang dilakukan oleh partikel yang bergerakmelingkar merupakan fungsi waktu. Dengan demikian, dapat dituliskanθ = θ(t). Perhatikanlah Gambar 6.2. Posisi sudut benda di titik P pada saatt dinyatakan sebagai θ. Kemudian, partikel tersebut berpindah selama selangwaktu Δt sejauh Δθ sehingga pada saat t + Δt, partikel berada di titik Qdengan posisi sudut θ + Δθ. Perpindahan sudut partikel tersebut adalah()θθ θθΔ= +Δ −Dengan demikian, kecepatan sudut partikel dapat dituliskan sebagaiberikut.()()ttttθθθθω+Δ −Δ==Δ+Δ −(6-2)A Kinematika RotasiGambar 6.2Perpindahan sudut sebesar θΔselama selang waktu ΔtOxPt1Qt + ΔΔΔΔtθθθ+Δ1. Jelaskanlah apa yangdimaksud dengan momen?2. Sebuah kincir berdiameter10 meter akan terlihatberputar lebih lambatdaripada kincir berdiameter2 meter. Menurut Anda,bagaimanakah hal tersebutterjadi?3. Menurut Anda, apakahpengertian benda setimbangitu? Berikanlah contohbenda-benda yang beradadalam keadaan setimbang.PramateriSoalrOQPΔsθΔGambar 6.1Sebuah partikel yang berpindahdari titk P ke titik Q dalamlintasan lingkaran.
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar107Oleh karena θ bersatuan derajat, radian, atau putaran, ω pun dapat bersatuanderajat/sekon, radian/sekon, atau putaran per sekon.Apabila perpindahan sudut partikel tersebut dibuat grafik hubunganantara posisi sudut (θ) terhadap waktu (t), seperti Gambar 6.3, Anda dapatmelihat bahwa kecepatan sudut rata-rata dinyatakan sebagai perubahan posisiselama selang waktu tertentu.Gambar 6.3Perpindahan sudut sebesarθΔselama selang waktuΔtpada partikel yang bergerakmelingkar.OΔΔΔΔtθ1θ2t1t2θPQθθθθ(rad)t (s)Gambar 6.5Grafik posisi sudut,θ, terhadapwaktu, t, kecepatan sudut rata-rata, θωΔ=Δtθ(rad)t (s)t1t2θ1θ2PQb. Kecepatan Sudut SesaatPerhatikanlah grafik posisi sudut terhadap waktu pada Gambar 6.5.Gambar 6.4Motor kecil ini memilikidiameter berorde milimeter.Motor ini dapat memilikikelajuan sudut lebih dari120.000 putaran/menit. Tepiuang logam menjadi latarbelakang gambar motor listrik.Sumber: Fisika untuk Sains dan Teknik, 1991Apabila selang waktu perpindahan partikel yang bergerak melingkar menujunol, kemiringan garis yang menyatakan kecepatan sudut rata-rata partikelakan semakin curam. Dengan demikian, kecepatan sudut sesaat dapatdidefinisikan sebagai.00limlimtttθωωΔ→Δ→Δ==Δ(6-3)atauddtθω=(6-4)
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI1083. Menentukan Posisi Sudut dari Fungsi KecepatanSudutFungsi posisi sudut dapat ditentukan dengan cara mengintegralkanpersamaan sudut sebagai fungsi waktu. Cara ini sama dengan caramenentukan posisi suatu benda dari pengintegralan fungsi kecepatan bendayanag telah dibahas pada subbab A. Dari Persamaan (6-4) Anda telahmengetahui bahwa()()dtdtdtdtθωθω=→=Apabila persamaan tersebut diintegralkan, akan dapat dituliskanpersamaan integral sebagai berikut()00tdtdtθθθ∫ω∫=()00ttdtθθ ∫ω−=()00ttdtθθ ∫ω=+(6-5)dengan θ0 = posisi sudut awal (rad atau derajat).Posisi sudut suatu titik pada roda dinyatakan oleh θ = (3t2 – 8t + 10) rad dengan tdalam sekon. Tentukanlah:a.posisi sudut titik tersebut pada saat t = 2 sekon,b.kecepatan sudut rata-rata selama 10 sekon pertama, danc.kecepatan sudut titik pada saat t = 10 sekon.JawabDiketahui: θ= (3t2 – 8t + 10) rad.a.Posisi sudut titik pada saat t = 2 sekon adalahθ = 3t2 – 8t + 10 = 3(2)2 – 8(2) + 10 = 6 rad.b.Tentukan lebih dahulu posisi sudut titik pada saat t = 0 dan t = 10 s.t = 10 s→θ= 3(10)2 – 8(10) + 10 = 230 radt = 0→θ= 3(0)2 – 8(0) + 10 = 10 radθΔ= 230 – 10 = 220 rad.Untuk selang waktu Δt = 10 sekon, kecepatan sudut rata-rata adalahθωΔ==Δ22010t = 22 rad/s.c.Kecepatan sudut sesaat sebagai fungsi waktu ditentukan sebagai berikut.θω==dddtdt (3t2 – 8t + 10) = 6t – 8.Kecepatan sudut sesaat titik pada t = 10 s adalah ω = 6t – 8 = 6(10) – 8 = 52 m/s.Contoh6.1dengan kalimat lain dapat dinyatkan bahwa ω merupakan turunan pertamadari fungsi posisi sudut terhadap waktu. Satuan kecepatan sudut sesaatdinyatakan dalam radian/sekon.Fly heel atau roda gila adalahsebuah roda berdiameter besaryang biasanya digunakan padamesin mobil untuk menstabilkangerak mesin melalui gerakrotasi yang dilakukan oleh rodagila tesebut.J e l a j a hF i s i k aSumber:www.pelicanparts.com
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar109Ot (s)kurva ωω (t)Gambar 6.6Posisi sudut partikel samadengan daerah di bawah kurva.()0ttdt∫ω4. Percepatan SudutAnalogi dengan percepatan pada gerak linear, definisi percepatan sudutpada gerak melingkar adalah perubahan kecepatan sudut per satuan waktu.Pembahasan mengenai percepatan sudut juga terbagi atas dua, yaitupercepatan sudut rata-rata dan percepatan sudut sesaat.a. Percepatan Sudut Rata-RataKecepatan sudut pada saat t adalah sebesar ω dan pada saat t +Δt adalahsebesar ωω+Δ. Percepatan sudut rata-rata partikel tersebut dapat dinyata-kan sebagai()()ttttωωωω+Δ−Δα==Δ+Δ −(6-6)atauddtωα=(6-7)dengan satuan percepatan sudut αadalah dalam rad/s2.b. Percepatan Sudut SesaatPercepatan sudut sesaat didefinisikan sebagai limit percepatan sudutrata-rata untuk selang waktu yang sangat kecil atau Δt menuju nol. Secaramatematis, persamaannya dituliskan sebagai berikut.00limlimttdtdtωωααΔ→Δ→Δ== =Δ(6-8)Sebuah roda berotasi pada suatu poros tertentu. Titik partikel pada roda tersebutmemenuhi persamaan kecepatan sudut ω = 2t2 – 3t + 8, dengan ω dalam rad/sdan t dalam sekon. Tentukanlah:a.percepatan sudut rata-rata partikel untuk selang waktu t = 2 sekon sampait = 6 sekon,b.percepatan sudut awal partikel, danc.percepatan sudut partikel pada saat t = 6 sekon.Contoh6.2Perhatikanlah grafik pada Gambar 6.6. Oleh karena integral adalahpenjumlahan yang kontinu, nilai 0t∫ω(t) dt sama dengan luas daerah di bawahkurva grafik ω terhadap t.Kecepatan sudut rotorhelikopter (baling-baling yangterdapat di bagian ekorhelikopter) dapat diubah dengancara memberinya percepatansudut melalui sebuah kontrolyang terdapat di cockpit.Rotor HelikopterJ e l a j a hF i s i k aSumber:home.c i.net
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI1105. Menentukan Kecepatan Sudut dari FungsiPercepatan SudutBerdasarkan Persamaan (6-7), Anda telah mengetahui bahwa percepatansudut adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut. Oleh karena itu,apabila persamaan percepatan sudut sebagai fungsi waktu suatu partikeldiintegralkan, akan diperoleh persamaan kecepatan sudutnya.()()dtdtdtdtωαωα=→=()tdtdtωω00∫ω∫α=()0ttdt0ωω ∫α−=()0ttdt0ωω ∫α=+(6-9)dengan 0ω= kecepatan sudut awal (rad/s)Sebuah piringan hitam berputar dengan percepatan sudutα= (10 – 4t) rad/s2dengan t dalam sekon. Pada saat t = 0, sebuah titik berada pada sudut θ0 = 0°dengan kecepatan sudut awal ω0 = 4 rad/s. Tentukan:a.persamaan kecepatan sudut, danb.posisi sudut sebagai fungsi waktu.JawabDiketahui: α = (10 – 4t) rad/s2, θ0 = 0°, dan ω0 = 4 rad/s.a.Gunakan persamaan kecepatan sudut.200044(10 4 )4 102ttdtt dtttωω α=+=+ −=+ −∫∫ω= (4 + 10t – 2t2) rad/s.b.Posisi sudut dapat ditentukan sebagai berikut.2230001020(4102) 423ttdttt dttttθθω=+=+ + −= +−∫∫θ = (4t + 5t2 – 23t3) rad.Contoh6.3JawabDiketahui: ω = 2t2 – 3t + 8.a.Persamaan umum kecepatan sudut adalah ω= 2t2 – 3t + 8 sehinggauntuk t2 = 6 sekon, ω2 = 2(6)2 – 3(6) + 8 = 62 rad/s, danuntuk t1 = 2 sekon, ω1 = 2(2)2 – 3(2) + 8 = –6 rad/s.Percepatan sudut rata-ratanya, diperoleh()()212162 rad /s(6rad/s)6s 2stttωωωα−−−Δ===Δ−− = 17 rad/s2.b.Percepatan sudut sebagai fungsi waktu diperoleh dengan menerapkanpersamaan berikut.dddtdtωα==(2t2 – 3t + 8) = 4t – 3Percepatan sudut awal partikel (pada t = 0) adalah α= –3 rad/s2.cPercepatan sudut partikel pada saat t = 6 sekon adalah α= 4(6) – 3 = 21 rad/s2.Roda gerinda digunakan dalamindustri untuk mengasah alat-alat berat.Roda gerinda inimengandung material pengasahdan berotasi pada porosnyasehingga dapat mengasahpermukaan alat-alat berattersebut.Roda GerindaJ e l a j a hF i s i k aSumber:www.hr hardware.com
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar1116. Gerak Melingkar Beraturan dan Gerak MelingkarBerubah BeraturanPada gerak melingkar beraturan, kecepatan sudut partikel tetap atautidak bergantung pada waktu. Oleh karena itu, dari Persamaan (6-4)didapatkan persamaan gerak melingkar beraturan sebagai berikut.dddtdtθωθω→=====.Apabila setiap ruas diintegralkan, dapat dituliskan0ttttddtddt000∫θ ∫ω∫ω∫θθ=→θ=0ttθω−=șt0tθθ ω=+(6-10)dengan 0θ = posisi sudut saat t = 0 sekon (rad).Pada gerak melingkar berubah beraturan, kecepatan sudut partikelberubah terhadap waktu (ωmerupakan fungsi waktu) dan partikel bergerakmelingkar dengan percepatan sudut, α, konstan. Oleh karena itu, dariPersamaan (6-7) didapatkan persamaan gerak melingkar berubah beraturansebagai berikut.dddtdtωαωα=→=Apabila ruas kanan dan ruas kiri persamaan diintegralkan, didapatkanttttddtddt0000∫∫ ∫ω∫ωωωωω= α →θ=t0tωωα−=0ttωω α=+(6-11)dengan 0ω= kecepatan sudut awal (rad/s)Apabila Persamaan (6-4) diintegralkan, akan diperoleh posisi sudutpartikel sebagai berikut.()()dtdtdtdtθωθω=→=Oleh karena ()0ttωωα=+maka pengintegralan persamaannya menjadi()()0ttdtdttdt000∫θ∫ω∫ω αθθ=++000ttttdtt dtdtt dt0000θθ ∫ω∫αω∫α∫−= +=+20012ttθθ ωα−= +20012ttθθ ωα=+ +(6-12)Jika θ0 = 0, akan diperoleh persamaan2012ttθωα=+(6-13)1 putaran = 360° = 2πrad1 rad = π180dera at= 57,3°1 rpm = 1 rotasi per menit = 1 × π260rad/sJanganLupa
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI112Tabel 6.1Tabel Analogi Gerak Translasi dan Gerak RotasiDari Persamaan (6–11) juga dapat diketahui bahwat0tωωα−=(6-14)Oleh karena itu jika Persamaan (6–14) disubstitusikan ke Persamaan (6–13)akan diperoleh200012ttωωωθωααα−−⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠Ȧ2202tsωω α=+(6-15)7. Analogi Gerak Translasi dan Gerak RotasiGerak rotasi dan gerak translasi (persamaan gerak) memiliki banyakpersamaan. Besaran gerak translasi memiliki hubungan dengan gerak rotasi.Hubungan tersebut menghasilkan bentuk rumus gerak rotasi yang bisadianalogikan dengan gerak translasi, seperti terlihat pada Tabel 6.1 berikut.Gerak TranslasiGerak RotasiHubungannyaPerpindahan/kedudukanKecepatan linear rata-rataKecepatan linear sesaatMenentukan posisi darifungsi kecepatan linearPercepatan linear rata-rataPercepatan linear sesaatMenentukan kecepatandari fungsi percepatanGerak lurus berubahberaturan (GLBB)s/rΔΔsv=tv = dsdt=+∫0rr vdtΔ=Δvata = ddtv=+∫0vvadtv = v0+ats = v0t+12atv2=v02+2asPerpindahan sudut (θ)Kecepatan sudut rata-rata(ω)Kecepatan sudut sesaat(ω)Menentukan posisi sudutdari fungsi kecepatansudutPercepatan sudut rata-rata (θ)Percepatan linear sesaatMenentukan kecepatandari fungsi percepatanGerak melingkar berubahberaturan (GMBB)θωΔ=Δtșθω=ddtθθ ω=+∫0dtωαΔ=Δtωα=ddtωω α=+∫0dtω=ω0 + αtθ = ω0t + 12αt2ω2=ω02 + 2αθs = θrωvr=v=ωrαar=a = αrGambar 6.7Percepatan linear danpercepatan sudut.vaatarrr8. Percepatan Linear dan Percepatan SudutPerhatikan Gambar 6.7 berikut.
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar113Contoh6.4Piringan hitam bergerak melingkar dengan kecepatan sudut 32 rad/s. Kemudian,kecepatannya berkurang menjadi 2 rad/s setelah 10 sekon.a.Berapakah percepatan sudut meja jika dianggap konstan?b.Jika radius meja putar adalah 10 cm, berapakah besar percepatan tangensialdan percepatan sentripetal sebuah titik di tepi piringan pada saat t = 10?c.Berapakah percepatan totalnya?JawabDiketahui: ω0= 32 rad/s, ωt= 2 rad/s, r = 10 cm, dan t = 10 s.a.Kecepatan sudut awal diperoleh dari persamaan ω = ω0 + at.2 rad/s = 32 rad/s + α(10 s) atau α = –3 rad/s2Tanda negatif menunjukkan bahwa putaran piringan hitam diperlambat.b.Percepatan tangensial at sebuah titik yang terletak pada jarak r = 10 cm daripusat rotasi adalahat= αr =(-3 rad/s2)(10 cm) = –30 cm/s2 (diperlambat)Percepatan sentripetal dihitung sebagai berikutas = ω2r = (2 rad/s)2(10 cm) = 40 cm/s2c.Percepatan total benda adalah.222222ts(2,42 cm/s)(168 cm/s)aaa=+=+= 50 cm/s2.• Posisi sudut• Kecepatan sudut• Percepatan sudut• Gerak melingkar beraturan• Gerak melingkar berubahberaturanKata KunciKerjakanlah di dalam buku latihan Anda.1.Posisi sudut suatu titik pada roda dinyatakan olehpersamaan θ = (2t3 – 3t2 + 6) rad dengan t dalamsekon. Tentukanlah:aposisi sudut titik tersebut pada saat t = 2 sekon;bkecepatan sudut rata-rata selama 4 sekonpertama;ckecepatan sudut titik pada saat t = 4 sekon;d.percepatan sudut pada saat t = 2 sekon.2.Sebuah roda berotasi. Sebuah titik pada roda tersebutmemenuhi persamaan kecepatan sudut ω = 2t + 4,dengan satuan ω dalam rad/s dan t dalam sekon.Tentukanlah:a.percepatan sudut partikel;b.kecepatan sudut awal partikel;c.perpindahan sudut partikel antara t = 0 sampait = 4 sekon.3.Sebuah benda yang massanya 2 kg meluncur di jalanlingkaran vertikal licin dan berjari-jari r = 2 m. Jikalaju benda di titik A yang terletak di jari-jari lingkaranadalah 25m/s dan g = 10 m/s2, tentukan:a.percepatan sentripetal benda;b.percepatan sudut benda;c.percepatan total benda.4.Dari keadaan diam, benda tegar melakukan gerakmelingkar dengan percepatan sudut 5 rad/s2. TitikP berada pada benda tersebut dan berjarak 20 cmdari sumbu putar. Tepat setelah benda bergerakselama 0,69 sekon, tentukan:a.percepatan tangensial yang dialami titik P;b.percepatan sentripetal yang dialami titik P;c.percepatan total titik P.Soal PenguasaanMateri 6.1Titik P mengalami percepatan linear (a) yang terdiri atas percepatantangensial (at) dan percepatan sentripetal (as), serta percepatan sudut (αααα).Percepatan tangensial adalah komponen percepatan menurut arah garissinggung.Percepatan sentripetal terjadi akibat perubahan arah vektor kecepatandan arah percepatan sentripetal yang arahnya tegak lurus vektor kecepatan(menuju pusat lingkaran). Hubungan antara besaran-besaran tersebut adalahsebagai berikut.at= αras= ω=22rrv(6-17) a= 2224tsaa rαω+= +
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI114B Momen Gaya dan Momen InersiaPada pelajaran sebelumnya, Anda telah mempelajari tentang gayasebagai penyebab terjadinya gerak linear dan percepatan linear. Dalam babini, Anda akan mempelajari tentang dinamika gerak rotasi dan penyebabnya,yaitu momen gaya yang menyebabkan timbulnya kecepatan sudut.1. Momen GayaMomen gaya (torsi) adalah sebuah besaran yang menyatakan besarnyagaya yang bekerja pada sebuah benda sehingga mengakibatkan bendatersebut berotasi. Anda telah mengetahui bahwa gaya akan menyebabkanterjadinya perubahan gerak benda secara linear. Apabila Anda inginmembuat sebuah benda berotasi, Anda harus memberikan momen gaya padabenda tersebut. Apakah momen gaya itu? Agar Anda dapat memahami konsepmomen gaya, lakukanlah kegiatan Kerjakanlah 6.1 berikut.Saat Anda memberikan gaya F yang arahnya tegak lurus terhadappenggaris, penggaris itu cenderung untuk bergerak memutar. Namun, saatAnda memberikan gaya F yang arahnya sejajar dengan panjang penggaris,penggaris tidak bergerak. Hal yang sama berlaku saat Anda membuka pintu.Gaya yang Anda berikan pada pegangan pintu, tegak lurus terhadap daunpintu sehingga pintu dapat bergerak membuka dengan cara berputar padaengselnya. Gaya yang menyebabkan benda dapat berputar menurut sumbuputarnya inilah yang dinamakan momen gaya. Definisi momen gaya secaramatematis dituliskan sebagai berikut.=×ττττrF(6–18)dengan:r= lengan gaya = jarak sumbu rotasi ke titik tangkap gaya (m),F= gaya yang bekerja pada benda (N), danττττ= momen gaya (Nm).Perhatikan Gambar 6.9. Pada gambar tersebut tampak dua orang anaksedang bermain jungkat-jungkit dan berada dalam keadaan setimbang,walaupun berat kedua anak tidak sama. Mengapa demikian? Hal iniberhubungan dengan lengan gaya yang digunakan. Anak yang lebih ringanberjarak 3 m dari titik tumpu (r1 = 3 m), sedangkan anak yang lebih beratmemiliki lengan gaya yang lebih pendek, yaitu r2 = 1,5 m. Momen gaya yangdihasilkan oleh masing-masing anak adalahττττ1= r1 × F1ττττ2=r2 × F2= (3 m)(250 N)= (1,5 m)(500 N)= 750 Nm= 750 NmMemahami Prinsip Momen GayaAmbillah satu penggaris. Kemudian, tumpukan salah satu ujungnya pada tepimeja. Doronglah penggaris tersebut ke arah atas atau bawah meja. Bagaimanakahgerak penggaris? Selanjutnya, tariklah penggaris tersebut sejajar dengan arahpanjang penggaris. Apakah yang terjadi? Bandingkan kedua kejadian tersebut.Kesimpulan apakah yang Anda dapatkan? Diskusikanlah dengan teman Anda.titik tumpuFrOtitik tumpuFrOKerjakanlah6.1Gambar 6.8Sebuah batang dikenai gayasebesar yang tegak lurusterhadap batang dan berjaraksejauh r terhadap titik tumpuO. Batang tersebut memilikimomen gaya =×ττττr.500 N250 N3 m1,5 mFrOSumber: onceptual hysics, 1998Gambar 6.9Jungkat-jungkit setimbangkarena momen gaya pada kedualengannya sama besar.
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar115Gambar 6.11Semakin panjang lengan gaya,momen gaya yang dihasilkanoleh gaya akan semakin besar.Dapat disimpulkan bahwa kedudukan setimbang kedua anak adalahakibat momen gaya pada kedua lengan sama besar.Perhatikan Gambar 6.10 Apabila gaya F yang bekerja pada benda mem-bentuk sudut tertentu dengan lengan gayanya (r), Persamaan (6–18) akanberubah menjadiθ=ττττrFsin(6–19)Dari Persamaan (6–19) tersebut, Anda dapat menyimpulkan bahwa gayayang menyebabkan timbulnya momen gaya pada benda harus membentuksudut θ terhadap lengan gayanya. Momen gaya terbesar diperoleh saat θ=90° (sinθ = 1), yaitu saat gaya dan lengan gaya saling tegak lurus.Anda juga dapat menyatakan bahwa jika gaya searah dengan arah lengangaya, tidak ada momen gaya yang ditimbulkan (benda tidak akan berotasi).Perhatikanlah Gambar 6.11a dan 6.11b.Arah gaya terhadap lengan gaya menentukan besarnya momen gayayang ditimbulkan. Momen gaya yang dihasilkan oleh gaya sebesar F padaGambar 6.11b lebih besar daripada momen gaya yang dihasilkan oleh besargaya F yang sama pada Gambar 6.11a. Hal tersebut disebabkan sudut antaraarah gaya terhadap lengan gayanya. Momen gaya yang dihasilkan juga akansemakin besar jika lengan gaya semakin panjang, seperti terlihat pada Gambar6.11c. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa besar gaya F yang samaakan menghasilkan momen gaya yang lebih besar jika lengan gaya semakinbesar. Prinsip ini dimanfaatkan oleh tukang pipa untuk membuka sambunganantarpipa.Sebagai besaran vektor, momen gaya ττττ memiliki besar dan arah. Per-janjian tanda untuk arah momen gaya adalah sebagai berikut.a.Momen gaya,ττττ, diberi tanda positif jika cenderung memutar bendasearah putaran jarum jam, atau arahnya mendekati pembaca.b.Momen gaya,ττττ, diberi tanda negatif jika cenderung memutar bendaberlawanan arah putaran jarum jam, atau arahnya menjauhi pembaca.Perjanjian tanda untuk arah momen gaya ini dapat dijelaskan denganaturan tangan kanan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.12. Arah jari-jari merupakan arah lengan gaya, dan putaran jari merupakan arah gaya (searahputaran jarum jam atau berlawanan arah). Arah yang ditunjukkan oleh ibujari Anda merupakan arah momen gaya (mendekati atau menjauhi pembaca).Perhatikan Gambar 6.13. Jika pada benda bekerja beberapa gaya, momengaya total benda tersebut adalah sebagai berikut. Besar ττττ yang ditimbulkanoleh F1 dan F2 terhadap titik O adalah ττττ1 dan ττττ2. ττττ1 bernilai negatif karenaarah rotasi yang ditimbulkannya berlawanan arah putaran jarum jam.Sedangkan, ττττ2 bernilai positif karena arah rotasi yang ditimbulkannya searahputaran jarum jam. Resultan momen gaya benda itu terhadap titik Odinyatakan sebagai jumlah vektor dari setiap momen gaya. Secara matematisdituliskanττττtotal = Σ(r × F)atauττττtotal = ττττ1 + ττττ2(6–20)Gambar 6.12(a) Gaya yang menghasilkanmomen gaya positif(mendekati pembaca)ditandai dengan titik.(b) Gaya yang menghasilkanmomen gaya negatif(menjauhi pembaca) ditandaidengan tanda silang.Gambar 6.10Momen gaya yang ditimbulkanoleh gaya yang membentuksudut θ terhadap benda (lengangaya = r).FrOθF1F2r2r1OGambar 6.13Pada benda bekerja dua gaya,yaitu F1 dan F2 yangmenghasilkan momen gaya –ττττ1dan +ττττ2.θττττabOFθττττOFSumber: ontemporary ollege hysics,2000rF90°rF90°rFττττ >ττττ >>ττττabcSumber: onceptual hysics, 1998
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI116Pada sebuah benda bekerja gaya 20 N seperti pada gambar. Jika titik tangkap gayaberjarak 25 cm dari titik P, berapakah besar momen gaya terhadap titik P?JawabDiketahui: F = 20 N, r = 25 cm, dan θ= 150°.τ= r F sinθ= (0,25 cm)(20 N)(sin 150°)= (0,25 cm)(20 N)(12)= 2,5 Nm.Gambar 6.14Kopel dari dua gaya yangsama besar dan berlawananarah.Batang AC yang panjangnya 30 cm diberi gaya seperti terlihat pada gambar.Jika BC = 10 cm dan F1 = F2 = 20 N, berapakah momen gaya total terhadap titik A?JawabDiketahui:r1 = 20 cm, F1 = F2 = 20 N, r2 = 30 cm, θ1 =53°, dan θ2 = 90°.ττττ=–r1F1 sinθ1 + r2F2 sinθ2= –(0,2 m)(20 N)(sin 53°) + (0,3 m)(20 N)(sin 90°)= –3,2 Nm + 6 Nm = –2,8 Nm.F1F2ABC53°Sebuah gaya F = (3i + 5j) N memiliki lengan gaya r = (4i + 2j) m terhadap suatu titikporos. Vektor idan j berturut-turut adalah vektor satuan yang searah dengansumbu-x dan sumbu-y pada koordinat Kartesian. Berapakah besar momen gayayang dilakukan gaya F terhadap titik poros?JawabDiketahui: F = (3i + 5j)N dan r = (4i + 2j)m.ττττ= r × F = (4i + 2j)m × (3i + 5j)N = (4)(5) (k) Nm + (2)(3) (–k) Nm = 14 kJadi, besarnya momen gaya 14 Nm yang searah sumbu z.2. Momen KopelKopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar, danberlawanan arah. Kopel yang bekerja pada suatu benda akan mengakibatkanbenda tersebut berotasi.Momen kopel (M) adalah perkalian silang antara dua besaran vektor,yaitu gaya dan jarak antara kedua gaya tersebut. Secara matematis, dituliskansebagai berikut.M = F × d(6–21)Contoh6.1P150°F = 20 NContoh6.210 cm30 cmFFdContoh6.3i × j = k; j × k = i; k × i = dan j× i = –k; k × j = –i;i × k = –j sertai × i = 0;j × j = 0; k × k = 0JanganLupa
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar117Perjanjian tandanya, yaitu jika kopel menyebabkan perputaran bendasearah putaran jarum jam, momen kopel (M) bernilai positif (mendekatipembaca, :). Sebaliknya, apabila kopel menyebabkan perputaran bendaberlawanan arah dengan putaran jarum jam, momen kopel bernilai negatif(menjauhi pembaca ⊗).Gambar 6.15(a) Momen kopel positifmendekati pembaca diberitanda :.(b) Momen kopel negatifmenjauhi pembaca diberitanda ⊗.Gambar 6.16Kopel digunakan dalammengayuh sepeda.bContoh aplikasi momen kopel dalam keseharian terdapat pada pedalsepeda. Kedua kaki akan memberikan gaya F yang sama pada pedal sepeda(panjang pedal sama) dengan arah keduanya saling berlawanan.3. Momen InersiaSebuah benda yang berotasi pada sumbunya, cenderung untuk terusberotasi pada sumbu tersebut selama tidak ada gaya luar (momen gaya)yang bekerja padanya. Ukuran yang menentukan kelembaman bendaterhadap gerak rotasi dinamakan momen inersia (I).Momen inersia suatu bergantung pada massa benda dan jarak massabenda tersebut terhadap sumbu rotasi. Jika benda berupa partikel atau titikbermassa m berotasi mengelilingi sumbu putar yang berjarak r, momen inersiapartikel itu dinyatakan dengan persamaan I = mr2(6–22)Dari Persamaan (6–22) itu, Anda dapat menyimpulkan bahwa momeninersia suatu partikel berbanding lurus dengan massa partikel dan kuadratjarak partikel tersebut terhadap sumbu rotasinya.Dengan demikian, semakin jauh jarak poros benda (sumbu rotasinya),besar momen inersia benda tersebut akan semakin besar. Prinsip ini banyakdigunakan dalam atraksi sirkus, misalnya atraksi berjalan pada seutas tali.Dalam atraksi tersebut, pemain akrobat membawa sepotong kayu panjangyang akan memperbesar momen inersianya sehingga ia dapat menyeimbang-kan badannya saat berjalan pada tali tersebut.FaFFFSumber: kotaaraya.comGambar 6.17Kayu panjang yang dibawapemain akrobat memperbesarmomen inersianya sehingga iadapat menyeimbangkantubuhnya saat berjalanmenyusuri tali.Sumber: news. c.co.ukApabila terdapat banyak partikel dengan massanya masing-masing m1,m2, dan m3, serta memiliki jarak masing-masing r1, r2, dan r3 terhadap poros(sumbu rotasi), momen inersia total partikel tersebut adalah penjumlahanmomen inersia setiap partikelnya. Secara matematis, dituliskan sebagaiberikut. I = =∑1nim1r12 = m1r12 + m2r22 + m3r32(6–23)
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI118Benda tegar adalah suatu benda yang memiliki satu kesatuan massayang kontinu (tidak terpisahkan antara satu sama lain) dan bentuknya teratur.Pada benda tegar, massa benda terkonsentrasi pada pusat massanya dantersebar pada jarak yang sama dari titik pusat massa benda. Oleh karenaitu, momen inersia benda tegar dapat dihitung menggunakan teknik inte-gral dengan persamaan I = ∫r2dm(6–24)Momen inersia berbagai bentuk benda tegar berdasarkan sumburotasinya dituliskan pada tabel berikut.Empat partikel dihubungkan dengan batang kayu yang ringan dan massanyadiabaikan seperti pada gambar berikut.Jika jarak antarpartikel sama, yaitu 20 cm, berapakah momen inersia sistem partikeltersebut terhadapa.poros PQ;b.poros RS.JawabDiketahui: m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 2 kg, m4 = 1 kg, dan r = 20 cm.a.Momen inersia sistem terhadap poros PQ, berarti PQ sebagai sumbu rotasiI = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 = (1 kg)(0,2 m)2 + (2 kg)(0 m)2 + (2 kg)(0,2 m)2 + (1 kg)(0,4 m)2 = 0,28 kgm2b.Momen inersia sistem terhadap poros RS, berarti RS sebagai sumbu rotasiI = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 = (1 kg)(0,6 m)2 + (2 kg)(0,4 m)2 + (2 kg)(0,2 m)2 + (1 kg)(0 m)2 = 0,76 kgm2SPQR1 kg2 kg2 kg1 kgNamaBatang silinder,poros melaluipusat.Tabel 6.2Momen Inersia Berbagai Bentuk Benda TegarMomen InersiaGambar=2112ImlBatang silinder,poros melaluiujung.=213ImlPelat besi persegi-panjang, porosmelalui pusat.()=+2212ImablporosporoslabporosContoh6.4Dengan mengukur perubahanyang kecil pada orbit satelit-satelit, ahli geofisika dapatmengukur momen inersia Bumi.Hal ini menginformasikan padakita bagaimana massa planet-planet terdistribusi di bagiandalamnya. Teknik yang sama jugatelah digunakan di pesawatruang angkasa antarplanet untukmenyelidiki struktur dalam daridunia-dunia lain.Sumber:Fisika niversitas, 2002Momen InersiaJ e l a j a hF i s i k aSumber:antwrp.gs c.nasa.gov
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar119Silinder berongga()221212ImRR=+porosSilinder pejal212ImR=Silinder tipisberonggaI = mR2Bola pejalI = 25mR2Bola tipisberonggaporosporosRporosporosRI = 23mR2Dalam kasus benda tegar, apabila momen inersia benda terhadap pusatmassa Ipm diketahui, momen inersia benda terhadap sumbu lain yang paraleldengan sumbu pusat massa dapat dihitung menggunakan teori sumbu paralel,yaituI = Ipm + md2(6–25)dengan: d= jarak dari sumbu pusat massa ke sumbu paralel (m), dan m= massa benda (kg).Sebatang kayu silinder panjangnya 100 cm dan bermassa 800 g. Tentukan momeninersia batang kayu itu, jika batang kayu tersebut berputar dengan sumbu putarnya:a.di tengah-tengah,b.di ujung.JawabDiketahui: l = 100 cm dan m = 800 g = 0,8 kg.a.Momen inersia batang kayu dengan sumbu putarnya di tengah:2111212Im==A(0,8 kg)(1 m)2 = 0,067 kgm2.b.Momen inersia batang kayu dengan sumbu putarnya di ujung:21133Im==A(0,8 kg)(1 m)2 = 0,267 kgm2.Contoh6.5• Momen gaya• Lengan gaya• Momen kopel• Momen inersia• Pusat massa• Gerak rotasiKata KunciR1R2RRSumber: Fundamentals o hysics, 2001 dan hysics or Scientists and ngineers with odern hysics, 2000
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI120Sebuah piringan yang bermassa M dirotasikan dengan porosmelalui pusat massa O dan tegak lurus pada piringan. Momeninersia pusat massa piringan tersebut adalah Ipm = 12mR2 denganR adalah jari-jari piringan. Tentukanlah momen inersia piringantersebut jika poros digeser ke sisi piringan, yaitu di titik S yangsejajar dengan poros semula.JawabDiketahui: Ipm = 12mR2 dan d = R.Karena sumbu putar digeser sejauh d = R dari pusat massa, menurut teorema sumbusejajar, momen inersia piringan adalahIs = Ipm + md2 = 12mR2 + mR2 = 32mR2.Kerjakanlah di dalam buku latihan Anda.1.Empat partikel dihubungkan dengan batang kakuyang ringan dam massanya diabaikan seperti padagambar berikut.ABC2 kg1 kg3 kg2 kgDJika jarak antarpartikel sama, yaitu 40 cm, berapakahmomen inersia sistem partikel tersebut terhadap:a.poros AB;b.poros CD.2.Sebatang kayu silinder memiliki panjang 80 cm danmassa 600 g. Tentukanlah momen inersianya, jikabatang kayu tersebut berputar menurut sumbu putar-nya:a.di tengah-tengah;b.di ujung;c.berjarak 20 cm dari ujung batang.3.Perhatikan gambar berikut.ORSORSPada pembahasan materi sebelumnya, Anda telah mempelajari bahwapenyebab gerak translasi adalah gaya Fdan penyebab gerak rotasi adalahmomen gaya ττττ. Menurut Hukum Kedua Newton, persamaan gerak translasibenda diam bermassa m yang dikenai gaya F dan bergerak dengan percepatana adalah F = m<a. Demikian juga untuk benda dengan momen inersia I yangbergerak rotasi dengan percepatan sudut αααα karena adanya momen gayaττττ, persamaannya adalah ττττ= I<αααα.Analogi dan hubungan antara gerak translasi dan gerak rotasi dapatdilihat pada Tabel 6.2 berikut.C Dinamika RotasiContoh6.6Soal PenguasaanMateri 6.1Sebuah piringan bermassa 20 gram dan berjari-jari10 cm. Tentukanlah momen inersia piringan tersebutjika dirotasikan dengan:a.poros melalui pusat massa O dan tegak luruspada piringan;b.poros digeser ke sisi piringan di titik S yangsejajar poros semula.
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar121Gerak TranslasiJarak linearKecepatan LinearPercepatanTangensialKelembamanTranslasi (massa)GayaEnergi KinetikMomentum LinearDayaTabel 6.3Analogi Gerak Translasi dan RotasiHubungannyasΔ=ΔsvtΔ=ΔtvatmF= maEK = 12mv2p = mvP = FvGarak RotasiJarak Posisi (Sudut)Kecepatan SudutPercepatan SudutKelembaman Rotasi(Momen Inersia)Momen GayaEnergi KinetikMomentum SudutDayaθθωΔ=ΔtωαΔ=ΔtIτΙα====EK = 12Iω2L = Iωτωp=s= θRv=ω Ra= αRI = =∑1NimiRi2×τ=τ=τ=τ=Fr1. Hubungan antara Momen Gaya dan Percepatan SudutHubungan antara momen gaya dan percepatan sudut pada gerak rotasianalog dengan Hukum Kedua Newton pada gerak translasi. Pada gerakrotasi, berlaku hubungan sebagai berikut.τα=I(6–26)dengan:τ= momen gaya (Nm),I= momen inersia (kgm2), danα= percepatan sudut (rad/s2).Sebuah roda berputar dari kecepatan 10 rad/s menjadi 70 rad/s karena mendapatmomen gaya tetap dalam waktu 3 sekon. Jika momen kelembaman roda 4 kg m2,tentukanlah besar momen gaya tersebut.JawabDiketahui: ω0 = 10 rad/s, ω = 70 rad/s, I = 4 kg m2, dan t = 3 s.70 rad/s 10 rad/s43soIItωωτα⎛⎞−−⎛⎞===⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠= 80 Nm.Sebuah bola pejal yang berdiameter 40 cm berotasi dengan poros yang melalui pusatbola. Persamaan kecepatan sudut bola adalah (5 + 20t) rad/s dengan t dalam sekon.Apabila massa bola 4 kg, tentukan momen gaya yang bekerja pada bola.JawabDiketahui: d = 40 cm, ω = (5 + 20t) rad/s, m = 4 kg, dan I = 25mR2.22255dImRdt⎛⎞===⎜⎟⎝⎠ωτα (4 kg)(0,2 m)2(20 rad/s)= 1,28 Nm.Contoh6.7Contoh6.8Mengendurkan ataumengencangkan sebuah sekrupmemerlukan pemberianpercepatan sudut pada sekrup.Hal itu berarti memberikantorsi pada sekrup. Pemberiantorsi ini mudah dilakukan denganmenggunakan obeng berjari-jaripegangan yang besar. Obeng iniakan menghasilkan lenganpengungkit besar untuk gayayang diberikan oleh tanganAnda.Sumber:Fisika niversitas, 2002ObengJ e l a j a hF i s i k a
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI122JawabDiketahui: R = 15 cm, massa katrol silinder M = 2 kg, dan massa ember m = 1 kg.Rotasi pada katrol silinder:Berdasarkan persamaan momen gaya didapatkanτα=IRT = aIRT = 2aIR .... (a)RTTranslasi pada ember:Berdasarkan Hukum Newton didapatkan∑F = mamg –T = ma .... (b)Sebuah silinder pejal berjari-jari 15 cm dan bermassa 2 kgdijadikan katrol untuk sebuah sumur, seperti tampak padagambar. Batang yang dijadikan poros memiliki permukaanlicin sempurna. Seutas tali yang massanya dapat diabaikan,digulung pada silinder. Kemudian, sebuah ember bermassa1 kg diikatkan pada ujung tali. Tentukan percepatan embersaat jatuh ke dalam sumur.Sejak dahulu, pengukuran massabenda dilakukan dengan caramenyeimbangkan torsi antaradua lengan gaya suatu neracayang dikenal dengan namaneraca lengan.Sumber:onceptual hysics, 1998To r s iContoh6.9Dengan menggabungkan Persamaan (a) dan Persamaan (b), diperoleh hubunganmg –2aIR = ma atau mg = ⎛⎞+⎝⎠2ImaRsehingga =+2mgaImR atau =+21gaImR.... (c)Selanjutnya, substitusikan harga I = 12M R2 pada Persamaan (c) sehingga diperoleh()222(1 kg)(10 m/s )10 kgm/s5m/s112kg1kg2kg22mgamM====++dengan m adalah massa ember dan M adalah massa katrol silinder.J e l a j a hF i s i k aSumber:www.rpi.edu
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar123Sebuah benda pejal bermassa M dan berjari-jari R, memiliki momen inersia I = kMR2.Benda tersebut menggelinding pada suatu bidang miring dengan sudut kemiringan,seperti tampak pada gambar.a.Berapakah percepatan yang dialami benda pejal tersebut?b.Tentukanlah percepatan yang terjadi, jika benda itu berupa bola dengan momeninersia I = 25MR2, atau silinder dengan I = 12MR2.JawabDiketahui: Ibenda pejal = kMR2.a.Menurut Hukum Kedua Newton pada gerak translasi, diperoleh hubunganMg sinθ – f = Ma atau Ma + f = Mg sinθ.... (a)Berdasarkan prinsip rotasi terhadap pusat benda, berlaku hubunganI=→ταf R = kMRα→f = kMa ....(b)Substitusikan Persamaan (b) ke dalam Persamaan (a), diperolehMa + kMa = Mg sinθ→sin1gak=+θb.Untuk silinder dengan k = 12, diperoleh a = sin2sin1312gg=+θθmg sinθfθ2. Energi dan Usaha dalam Gerak RotasiPerhatikanlah roda delman, seperti terlihat pada Gambar6.18. Agar dapat berjalan, roda delman tersebut harus dapatmenggelinding di sepanjang jalan yang dilaluinya. Apakahgerak menggelinding itu? Gerak menggelinding adalahperpaduan antara gerak rotasi dengan gerak translasi.Perhatikanlah Gambar 6.19. Gerak translasi dicontohkan padaGambar 6.19a. Pada gambar tersebut, gaya F bekerja di pusatmassa (PM) roda sehingga roda berpindah atau bertranslasi.Pada Gambar 6.19b, gaya F bekerja di jari-jari roda sehinggamenyebabkan roda berotasi pada pusat massanya. Jika keduajenis gerak yang dilakukan pada Gambar 6.19a dan 6.19bdisatukan, roda akan menggelinding, seperti yang terlihat padaGambar 6.19c.Contoh6.10Gambar 6.18Roda delman yang sedangberjalan merupakan salah satucontoh gerak menggelinding.Gambar 6.19(a) Roda bergerak translasikarena ditarik dengan gaya yang bekerja pada titik pusatmassanya (PM).(b) Roda berotasi pada titikpusat massanya (PM).(c) Roda menggelinding.abcFPMPMPMFSumber:mishuna.image.p ase.com
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI124Dalam melakukan gerak menggelinding, dibutuhkan gaya gesek antarabenda dengan permukaan. Jika tidak ada gaya gesek maka benda tersebutakan tergelincir atau slip (benda hanya melakukan gerak translasi).Perhatikanlah Gambar 6.20. Dari uraian gaya-gaya yang bekerja padaroda tersebut dapat Anda lihat bahwa gaya normal N, gaya F, dan gayaberat ωωωω bekerja pada titik pusat massa roda. Gaya F menyebabkan bendabertranslasi. Gaya gesek f menimbulkan momen gaya pada roda sebesar ττττsehingga roda dapat berotasi dan menggelinding tanpa slip. Dapat disimpul-kan bahwa gaya gesek yang bekerja pada benda, memegang peranan pentingagar benda dapat menggelinding sempurna tanpa slip.Dalam kehidupan sehari hari, konsep menggelinding tanpa slip ini dapatAnda temukan pada desain ban kendaraan, misalnya mobil dan motor.Desain permukaan ban kendaraan dirancang sedemikian rupa agar gesekanyang ditimbulkan saat ban bersentuhan dengan jalan, dapat membuat rodamenggelinding sempurna tanpa slip.Sumber:onceptual hysics,1993Menganalisa Penerapan Konsep Menggelinding Pada Desain BanDesain ban suatu kendaraan berbeda-beda, sesuai dengan kebutuhan kendaraantersebut. Jika Anda perhatikan, ban yang digunakan oleh para pembalap FormulaOne memiliki permukaan yang lebih licin daripada ban mobil biasa, bahkanterkadang tidak bergerigi sama sekali. Menurut Anda, adakah gaya gesek yangditimbulkan oleh ban mobil balap itu? Apabila dihubungkan dengan konsep meng-gelinding tanpa slip, apakah fungsi ban seperti yang digunakan oleh para pembalaptersebut? Untuk mendukung jawaban Anda, cobalah Anda cari informasi lebihlanjut mengenai kegunaan desain ban mobil balap dan perbandingannya dengandesain ban mobil biasa di perpustakaan, internet, dan sumber-sumber lainnya.Diskusikan jawaban Anda tersebut bersama dengan teman-teman kelompok Andaserta guru Fisika Anda.Kerjakanlah6.2FNw =mgfGambar 6.20Sebuah bola pejal yangmenggelinding tanpa slip padasuatu permukaan datar.Ketika sedang menggelinding, benda memiliki energi kinetik yang terbagiatas dua jenis, yaitu energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi.Anda telah mengetahui pada benda yang bergerak translasi, energikinetiknya adalah energi kinetik translasi, yaituEK trans = 12mv2Sedangkan, pada benda yang berotasi murni, energi kinetiknya adalahenergi kinetik rotasi, yaituEK rot = ω212I(6–27)Sumber:iles.tur os uid.com
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar125Pada benda yang menggelinding, gerak benda merupakan perpaduanantara gerak translasi dan gerak rotasi. Oleh karena itu, energi kinetik yangdimiliki benda adalah energi kinetik total, yaitu EKtot = EK trans + EK rot EK tot = 12mv2 + ω212I(6–28)Jika resultan momen gaya luar yang bekerja pada benda sama dengannol (tidak ada momen gaya luar yang bekerja pada benda), pada gerak rotasitersebut berlaku Hukum Kekekalan Energi Mekanik, yang dituliskan sebagaiberikut.ΔEP= ΔEKtrans + ΔEKrot(6–29)Sebuah benda pejal bermassa M, jari-jari R, dan momen inersia I = kMR2 (k adalahsebuah konstanta) menggelinding menuruni bidang miring, seperti tampak padagambar.a.Nyatakan kelajuan bola pada saat tiba di dasar bukit.b.Jika benda pejal adalah bola (k = 25), berapakah kelajuan bola di dasar bukit?c.Tentukan juga kelajuannya apabila benda tersebut adalah silinder (k = 12).JawabDiketahui: m = M, r = R, dan I = kMR2.a.Menurut Hukum Kekekalan Energi Mekanik, berlaku hubungan:EP = EKrot + EKtrans →Mgh = ω+221122IMvMgh = 12(kMR2)2ω + 12Mv2Mgh = 12kMv2 + 12Mv2 gh = (k + 1) 12v2v = +21ghkb.Untuk bola dengan k = 25 diperoleh besarv = 2102715ghgh→=+vc.Untuk silinder dengan k = 12 diperoleh besar v = →=+241312ghvghv0 = 0hvContoh6.11Syarat agar suatu roda berjari-jari dan kelajuan sudut pusatmassanya ω dapat menggelindingtanpa slip adalah roda tersebutharus memiliki kecepatan pusatmassa vpm = .ωPerlu AndaKetahui
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI126Gambar 6.23Putaran badan (ω) dari pemaines skating ini bertambah cepatsaat ia merapatkan keduatangannya ke arah badan.Diketahui sebuah piringan hitam bermassa m dan berjari-jari R. Piringan hitam inidiletakkan di atas sebuah meja putar dengan jari-jari R dan massa M yang sedangberputar dengan kecepatan sudut ω. Meja putar ini dapat berputar dengan bebastanpa ada momen gaya luar yang bekerja padanya. Jika piringan hitam dan mejaputar dapat dianggap sebagai silinder homogen, berapakah kecepatan sudut akhirsistem?JawabDiketahui: mmeja = M, rmeja = R, ωmeja = ω, mpiringan = m, dan rpiringan = R.Gunakan Hukum Kekekalan Momentum Sudut, yaitu(momentum sudut awal = momentum sudut akhir)Lmeja= Lmeja + Lpiringan→Imω = Imω2 + Ipω2Sumber: Jendela Iptek, 19973. Momentum Sudut dan Hukum Kekelan MomentumSudutPada Bab 5, Anda telah mempelajari bahwa sebuah benda yang bergerakpada suatu garis lurus, memiliki momentum yang disebut momentum linear.Sekarang, bagaimana dengan benda yang berotasi? Pada benda yang melaku-kan gerak rotasi juga terdapat momentum yang disebut momentum sudut.Momentum sudut didefinisikan sebagai perkalian antara momen inersiadan kecepatan sudut. Secara matematis, ditulis sebagai berikut.L = Iω(6–30)dengan: I= momen inersia (kgm2),ω= kecepatan sudut (rad/s), danL= momentum sudut (kgm2/s).Momentum sudut merupakan besaran vektor karena memiliki besar danarah. Arah momentum sudut dapat ditentukan dengan aturan tangan kanan,seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.21.Apabila jari-jari benda yang melakukan gerak rotasi jauh lebih kecildibandingkan dengan jarak benda itu terhadap sumbu rotasi r, momentumsudut benda itu dinyatakan sebagai momentum sudut partikel yang secaramatematis dituliskan sebagaiL = mvr(6–31)Jika momen gaya luar sama dengan nol, berlaku Hukum KekekalanMomentum Sudut, yaitu momentum sudut awal akan sama besar denganmomentum sudut akhir. Secara matematis, pernyataan tersebut ditulis sebagaiberikut. Lawal= Lakhir I1ω1 + I2ω2 = I1ω1' + I2ω2'(6–32)Dari Persamaan (6–32), dapat dilihat bahwa apabila I bertambah besar,ω akan semakin kecil. Sebaliknya, apabila ω semakin besar maka I akanmengecil. Prinsip ini diaplikasikan oleh pemain es skating dalam melakukanputaran (spinning). Saat akan memulai putaran badan, pemain es skatingmerentangkan lengannya (momen inersia pemain akan semakin besar karenajarak lengan dengan badan bertambah). Kemudian, ia merapatkan kedualengannya ke arah badan agar momen inersianya mengecil sehingga putaranbadannya akan semakin cepat (kecepatan sudutnya membesar).Contoh6.12LvmrGambar 6.22Benda pejal bermassa m yangbergerak dengan kecepatan vpada lingkaran berjari-jari r.Momentum sudutnya = mvr.Gambar 6.21Arah putaran keempat jarimenunjukkan arah rotasi,sedangkan ibu jari menunjukkanarah momentum sudut.
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar127D Kesetimbangan Benda TegarKerjakanlah dalam buku latihan Anda.1.Suatu roda yang berbentuk cakram homogen berjari-jari 50 cm dan massanya 300 kg. Pada saat berputar,roda tersebut memiliki momen gaya sebesar 375 Nm.Tentukan percepatan angular cakram tersebut.2.Suatu roda berputar dari 20 rad/s menjadi 60 rad/skarena mendapat momen gaya tetap. Jika momenkelembaman roda 4 kgm2, tentukan momen gayatersebut setelah berputar 100 rad.3.Suatu bola pejal diameternya 40 cm dan berotasidengan poros yang melalui pusat bola. Persamaankecepatan sudut bola adalah ω = (10 + 25t) rad/sdengan t dalam sekon. Jika massa bola 4 kg, tentukan-lah momen gaya yang bekerja pada bola.4.Sebuah bola pejal yang bermassa m dan lantai yangberjari-jari R menggelinding pada permukaan datardengan kecepatan v. Tentukan nilai perbandinganenergi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi bola.5.Sebuah roda dengan momen inersia 0,5 kg m2berputar dengan kecepatan sudut 10 rad/s. Rodatersebut diberi gaya tangensial sehingga momengaya yang timbul sebesar 50 Nm dan arahnya ber-lawanan dengan arah putaran roda. Tentukansudut yang ditempuh roda semenjak gaya mulaidiberikan hingga berhenti.Soal PenguasaanMateri 6.2()()222111'222MRMRmRωω=+ Mω= (M + m) ω'ω'MMmω=+Kecepatan sudut akhir sistem adalah ω=ω′+MMm.1. Syarat KesetimbanganMenurut Hukum Pertama Newton, apabila resultan gaya-gaya yangbekerja pada benda sama dengan nol, percepatan benda tersebut juga akansama dengan nol. Dalam hal ini, dapat diartikan bahwa benda berada dalamkeadaan diam atau bergerak dengan kecepatan tetap. Kondisi ini berlakuuntuk gerak translasi dan gerak rotasi. Apabila pada benda berlaku hubungan∑F = 0 dan ∑τ = 0 (a = 0 dan α = 0) maka dikatakan benda tersebut dalamkeadaan setimbang.Benda yang berada dalam keadaan setimbang tidak harus diam, akantetapi harus memiliki nilai percepatan linier a = 0 (untuk gerak translasi) danpercepatan sudut α = 0 (untuk gerak rotasi). Sebaliknya, benda yang diampasti berada dalam keadaan setimbang. Dengan demikian, keadaan setim-bang itu terdapat dua macam, yaitua.Setimbang statik (benda diam).v = 0dan ω = 0∑F = 0 dan ∑τ = 0b.Setimbang mekanik (benda bergerak translasi atau rotasi).a.Setimbang translasi → benda bertranslasi dengan v konstan.b.Setimbang rotasi (untuk benda tegar) → benda berotasi dengan ωkonstan.• Dinamika rotasi• Momentum sudut• Hukum kekentalanmomentum sudutKata Kunci
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI128Sumber:onceptual hysics,1993Gambar 6.24Pusat massa sebuah kunciInggris yang sedang berputarberada dalam satu garis lurus.Pusat massa ini bertranslasidengan arah yang selaluberubah.pusatmassaSumber:onceptual hysics,19932. Pusat Massa dan Titik Berat BendaBenda tegar yang melakukan gerak rotasi, memiliki pusat massa yangtidak melakukan gerak translasi (v = 0). Berbeda dengan sebuah partikelyang bergerak melingkar beraturan, partikel tersebut memiliki pusat massayang melakukan gerak translasi (v≠ 0) dengan arah yang selalu berubahkarena adanya percepatan sentripetal, as di mana F≠ 0. Perhatikanlah Gambar6.24 berikut.Sumber:onceptual hysics,1993Gambar 6.25Letak titik pusat massa menaraPisa masih berada di dalamalasnya sehingga menara tetapdalam keadaan stabil.Letak pusat massa suatu benda menentukan kestabilan (kesetimbangan)benda tersebut. Jika dari titik pusat massa benda ditarik garis lurus ke bawahdan garis tersebut jatuh pada bagian alas benda, dikatakan benda beradadalam keadaan setimbang stabil. Namun, apabila garis lurus yang ditarikdari titik pusat massa jatuh di luar alas benda maka benda dikatakan tidakstabil.Menara Pisa yang miring masih tetap dapat berdiri selama berabad-abad. Mengapa menara tersebut tidak jatuh? Dari ilustrasi Gambar 6.25,dapat dilihat bahwa garis yang ditarik dari pusat massa menara masih jatuhpada alasnya sehingga menara berada dalam keadaan stabil (setimbang).Agar tidak mudah terguling, benda dirancang dengan dasar (alas) yanglebar dan titik pusat massa yang rendah. Perhatikan Gambar 6.26 berikut.Gambar 6.26Benda berbentuk kerucutmerupakan benda yang palingstabil dibandingkan denganketiga benda lainnya.Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa semakin lebar alas suatubenda, gaya yang dibutuhkan untuk menggulingkannya akan semakin besarkarena jarak yang dibutuhkan untuk menaikkan titik pusat massa benda(ditandai tanda panah) sehingga benda dapat digulingkan juga besar.Titik berat benda adalah titik tangkap gaya berat suatu benda, di manatitik tersebut dipengaruhi oleh medan gravitasi. Penentuan letak titik beratini dapat dilakukan dengan mudah apabila benda bersifat homogen danberaturan (seperti kubus, bola, dan silinder). Apabila benda tidak homogenatau tidak beraturan, penentuan titik beratnya adalah sebagai berikut.Aggaplah benda berupa kumpulan titik-titik massa, yaitu m1, m2, m3,dan seterusnya yang terletak pada koordinat (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), danseterusnya. Titik berat benda terhadap sumbu-x adalah(m1 + m2 + m3 + ...) gx0 = m1gx1 + m2gx2 + m3gx3 + ...
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar129Titik berat benda terhadap sumbu-y adalah(m1 + m2 + m3 + ...) gy0 = m1gy1 + m2gy2 + m3gy3 + ...maka momen gaya berat benda terhadap sumbu-x adalah+++=+++1122330123......mx mx mxxmmm==∑=∑101niiiniimxxmUntuk sumbu-y, momen gaya berat benda tersebut adalah+++=+++1122330123......mymymyymmm==∑=∑101niiiniimyymMenentukan Titik Berat Benda Tidak BeraturanAlat dan Bahan1.Sepotong karton dengan bentuk sembarang2.Seutas tali dengan pemberat di ujungnya3. StatifProsedur1.Buatlah tiga lubang pada potongan karton (letak lubang sembarang) dan berilahnomor lubang 1, lubang 2, dan lubang 3.2.Gantunglah karton itu pada lubang 1 dengan menggunakan statif seperti terlihatpada gambar.3. Gantungkanlah tali yang memiliki pemberat pad statif. Pastikanlah tali danpemberatnya dapat menggantung secara bebas dan tidak terhalang.4.Setelah karton dan tali berada dalam keadaan setimbang, buatlah garis putus-putus yang berasal dari lubang 1 dan berimpit dengan tali. Kemudian, namaigaris itu sebagai garis l1.5.Lakukanlah langkah ke–2 sampai dengan ke-4 pada lubang 2 dan lubang 3.6.Apakah kesimpulan yang Anda dapatkan dari kegiatan tersebut?7.Diskusikan dan komunikasikanlah kesimpulan tersebut dengan teman-temandan guru Fisika Anda.Mahir MenelitiPerhatikanlah gambar tiga jenis kesetimbangan statis benda tegar, yaitukesetimbangan stabil, labil, dan netral pada Gambar 6.27 berikut.Gambar 6.27(a) Benda setimbang stabil(mantap).(b) Benda setimbang labil(goyang).(c) Benda setimbang netral(inde erent/sembarang).FFOOFFFFOabc
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI130Pada sistem kesetimbangan benda tegar seperti padagambar di samping, batang AB homogen dengan panjang80 cm, beratnya 18 N, menyangga beban seberat 30 N, BCadalah tali.a.Berapakah tegangan pada tali (dalam newton) jikajarak AC = 60 cm?b.Tentukanlah besar gaya reaksi dinding terhadapbatang di titik A?Contoh6.14ACBBatang AC bermassa 40 kg danpanjangnya 3 m. Jarak tumpuan A danB adalah 2 m (di B papan dapatberputar) seorang anak bermassa 25 kgberjalan dari A menuju C. Berapa jarakminimum anak dari titik C agar papantetap setimbang (ujung batang Ahampir terangkat)?Contoh6.13a.Kesetimbangan stabil (mantap), ialah jenis kesetimbangan benda di manaapabila benda diberi gangguan (gaya luar) maka benda akan bergerak.Kemudian, apabila gangguan gaya luar tersebut dihilangkan maka bendaakan diam dan kembali pada kedudukannya semula. PerhatikanlahGambar 6.27a. Titik berat benda akan naik, jika benda hendakmenggelinding karena gaya F. Kedudukan benda setelah digulingkanakan tetap.b.Kesetimbangan labil (goyah), ialah jenis kesetimbangan benda dimanabenda tidak dapat kembali ke kedudukannya semula apabila gaya luar(gangguan) yang diberikan padanya dihilangkan. Perhatikanlah Gambar6.27b. Titik berat benda O turun, apabila benda hendak menggelindingkarena gaya F. Kedudukan benda sebelum dan sesudah digelindingkanberubah.c.Kesetimbangan netral (indifferent/sembarang), ialah jenis kesetimbanganbenda di mana apabila benda diberi gangguan, benda akan bergerak.Kemudian, apabila gangguan dihilangkan, benda akan kembali diampada posisinya yang baru. Perhatikanlah Gambar 6.27c. Titik berat benda,O, tidak naik maupun turun apabila benda menggelinding. Setelahmenggelinding, benda kembali setimbang di posisinya yang baru.ABCA2 mBC1,5 m0,5 m1 – xxwACwanakΣτ= 0wAC (0,5 m) = wanak (1 – x) (400 N) (0,5 m) = (250 N)(1 – x) 200 Nm = (250 N) – (250x Nm) 250x Nm = 50 N x= 0,2 mJawabDiketahui: manak = 25 kg, mAC = 40 kg, AC = 3 m, dan AB = 2 m.Di kapal dan galangan kapalterdapat derek kapal, yaitusebuah derek statis yangdioperasikan dengan kabel yangdihubungkan pada sebuahmenara. Menara derek jugadapat dijumpai pada pembangun-an gedung-gedung. Menaraderek ini harus selalu beradadalam keadaan setimbang agartidak timbul total momen gayayang akan merobohkan menaraderek tersebut.Salah satu derek yangterkenal adalah derek GottwaldMK 1000 yang diberi julukan“irdie ne” karena menaraderek tersebut pernahmengangkat beban yang sangatberat, yaitu menempatkanreaktor berkapasitas 742 ton dikilang minyak Selandia Baru.Sumber:x ord ncyclopedy,1995Menara DerekJ e l a j a hF i s i k aSumber:iloveoregon.com
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar131SolusiCerdasSistem terlihat pada gambar. Massa batanghomogen AB adalah 50 kg dan massa bebannya150 kg. Ujung A diengselkan ke tembok,sedangkan beban dihubungkan ke ujung Bdengan seutas tali melalui sebuah katrol.Massa tali dan gesekan pada katrol diabaikan,g = 10 m/s2, dan sinθ = 716.a.Gambarkanlah diagram gaya-gaya yang bekerja pada batang AB dan padabeban, serta hitunglah tegangan talinya.b.Berapakah besar gaya engsel di titik A?JawabDiketahui: m1 = 150 kg, m2 = 50 kg, g = 10 m/s2, AC = 1,5 m, AB = 4 m, dan sinθ716.a.Gaya pada beban NC adalah gaya normal dari batang pada beban. Dalamkeadaan setimbang berlaku:∑Fy = 0T + NC = m1gT + NC = 1.500 NNC = 1.500 N – T .......... (a)Contoh6.15ACB1,5 m4 mθNCTm1g = 1.500 NJawabDiketahui: AB = 80 cm, wAB = 18 N, dan wbeban = 30 N.aPerhatikan diagram gaya yang bekerja pada batang.Oleh karena AB = 80 cm dan AC = 60 cm maka BC=()()2280 cm60 cm+= 100 cm, sinα= 0,6 atauα= 37°.Berdasarkan syarat kesetimbangan gaya pada titikA, diperoleh:∑τA = 0T(AD) + FA(0) + (18 N)(12AB) + (30 N)(AB) = 0T(AB sin 37°) + 0 + (9 N)(AB) + (30 N)(AB) = 039 N = 0,6T atau T = 65 N.b.Gaya reaksi FA, dihitung dengan menggunakanmetoda segitiga.FA = ()()2248 N65N2(48 N)(65N)cos 53°+−FA = 22785 N 52 ,78 N=CDTBFA18 N30 NAαFAT= 65 N53°37°FB + w= 18 N + 30 N= 48 NPerhatikanlah diagram gaya pada batang.Gaya reaksi beban terhadap batang adalah NC'(bukan m1g) dengan NC' = NC (pasangan gayaaksi-reaksi).Gunakan syarat kesetimbangan batang padatitik A.τΑ∑ = 0NC' (AC) + m2g (CB) = T sinθ (AC)NC' (1,5 m) + m2g (2 m) = T sinθ (4 m) ........... (b)1,5m0,5mAFANCm2g = 500 Nθ2mBalok kayu seragam di atassepanjang 8 m dan berat 200 Nberada di atas dua buah tiangpenyangga A dan B. Besarbeban yang dirasakan oleh titikA (dalam N) adalah ....a. 60b. 90c. 120d. 150e. 180Penyelesaian8 mABB0τ∑=w(3 m) – FA(4 m) = 0(200 N)(3 m) – FA(4 m) = 0FA = 150 NJawab: dSoal UM–UGM 20034 mFA = ...?FB3 mw = 200 N
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI1323. Kesetimbangan Tiga GayaApabila terdapat tiga gaya yang bekerja pada satu titik partikel danpartikel tersebut berada dalam keadaan setimbang, seperti pada Gambar6.28,berlaku hubungan sebagai berikut.ααα==FFF31212 3sinsinsin(6–33)dengan α1, α2, dan α3 merupakan sudut apit antara dua gaya yangberdekatan.Gambar 6.28Gaya 1, 2, dan 3 bekerja padatitik partikel dengan sudutmasing-masingF1F3F2α2α1α3Sebuah tangga homogen AB yang panjangnya 5 m danmassanya 8 kg disandarkan pada dinding vertikal yang licin.Ujung A bersandar pada dinding, sedangkan ujung B terletakdi lantai kasar yang berjarak 3 m dari dinding. Tentukankoefisien gesek antara lantai dan ujung B, agar batang setimbangtepat akan bergerak. (percepatan gravitasi g = 10 m/s2)JawabDiketahui: AB = 5 m, mAB = 8 kg = 80 N, BC = 3 m, AC = 4 m, dan g = 10 m/s2.Perhatikanlah diagram gaya pada balok.AClicinkasar3 m4 m•τΒ∑ = 0NA(AC) – WAB()12CB = 0NA(AC) – 80 ()12CB = 0NA(4 m) – (40 N)(3 m) = 0 →NA = 30 N•∑Fy = 0 →NB = 80 N•∑Fx = 0 →fB = NA atau μNB = NAμ (80 N) = 30 N →μ=38ACNBNA5 m80 NθContoh6.16BBSolusiCerdasBenda bidang tersebut dilubangidi lima titik. Kemudian, bendadigantungkan pada paku didinding. Benda tersebut akanmencapai keseimbanganindeferen apabila titik beratberada di titik ....a. Pb. Qc. Rd. Se. TPenyelesaianApabila benda berada dalamkeseimbangan indeferen(netral), pusat gravitasi bendatetap walaupun benda diberigaya horizontal. Jadi, padakasus tersebut benda akansetimbang netral jika pusatmassanya di titik R.(Posisi R tetap walaupun bendadiputar)Jawab: cSoal UAN Fisika SMA 2002/2003PQRSTT = 1.000 NFANC' + m2gθαSubstitusikan Persamaan (a) pada Persamaan (b) sehingga diperoleh (1.500 N – T)(1,5 m) + (500 N)(2 m) = T716⎛⎞⎜⎟⎝⎠(4 m) 2.250 Nm – 1,5 T m + 1.000 Nm = 74T m 9.000 Nm – 6 T m + 4.000 Nm = 7T m 13T m = 13.000 Nm →T = 1.000 N.b.Gunakan metoda segitiga untukmenghitung gaya engsel FA.sinθ = 716 atau θ = 25,94°→α = 90 – 25,94 = 64,06°Karena NC' = 1.500 N – T,maka NC' = 1.500 N – 1.000 N = 500 NFA = ()()()+++ +α22C2C2'2'cosNmgT NmgTOleh karena NC' + m2g = 500 N + 500 N = 1.000 N makaFA()()()()221.000 N1.000 N2(1.000 N)1.000 N cos 64,06=+−°FA 222.000.000 N874.859, 38 N1.060,73 N.=−=
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar133SolusiCerdas+Benda pada gambar memiliki berat 400 N dan digantungdalam keadaan diam. Tentukanlah besar tegangan-tegangan yang terjadi pada kedua tali yang menahanbenda.(Ingat, tegangan adalah gaya yang terdapat padaseutas tali yang menarik suatu benda).JawabDiketahui: w = 400 N, θ1 = 37°, dan θ2 = 53°400 N37°53°ACara umum:Perhatikan diagram uraian gaya yang bekerja pada titikA. Gaya T1 dan T2 menghasilkan komponen-komponengaya menurut sumbu-x dan sumbu-y yang diproyeksi-kan sebagai berikut:37°53°wyT1T2T1xT2xxT1yT2yT1x= T1 cos 37° = T1 (0,8) = 0,8 T1T1y= T1 sin 37° = T1 (0,6) = 0,6 T1T2x= T2 cos 53° = T2 (0,6) = 0,6 T2T2y= T2 sin 53° = T2 (0,8) = 0,8 T2Terapkan syarat kesetimbangan sehingga diperoleh∑Fx = 0 → T2x – T1x= 0 atau 0,6 T2 – 0,8 T1 = 0 –0,8 T1 + 0,6 T2= 0 .... (a)∑Fy = 0 →T1y – T2y – w = 0 atau 0,6 T1 + 0,8 T2 – 400 = 0 0,6 T1 + 0,8 T2 = 400 N .... (b)Dari Persamaan (a) dan Persamaan(b), diperoleh persamaan sebagai berikut.–0,8 T1 + 0,6 T2 = 0 × 0,6 0,6 T1 + 0,8 T2 = 400 N × 0,8–0,48T1 + 0,36T2 = 0 0,48T1 + 0,64 T2 = 320 N 1,00T2 = 320 N T2 = 320 NMasukkan nilai T2 ke dalam Persamaan (b) maka T1 dapat dihitung. 0,6T1 + 0,8(320 N) = 400 N 0,6T1 + 256 N = 400 N 0,6T1= 400 N – 256 N T1= 144 N0, 6 = 240 NCara perbandingan sinus:Menurut kesetimbangan tiga gaya, diperolehContoh6.17T1T2wα1α237°53°αw1212o12wsinsinsinsin 143sin 127sin 90TTT Tww== → = =ααα°°12124004002403200,60,81TTTT===→==NdanN.Seutas tali ABCD digantungkanpada titik A dan D. Pada titik Bdigantungkan beban seberat w.Tentukanlah besar w agar sistemdalam kesetimbangan ....a. 4 Nb. 8 Nc. 12 Nd. 16 Ne. 20 NPenyelesaianADCB60°30°12 Nw• Lihat titik B.()()12sin 90 60sin 90 30T=++°1243N11322TT=→=• Lihat titik C()()12sin 90 30sin 90 60T=+°+=→=434N1122wwJawab: aSoal UM–UGM 2003TCB60°30°12 Nw
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI1344. Kesetimbangan Gaya pada JembatanKesetimbangan statis banyak diaplikasikan dalam bidang teknik,khususnya yang berhubungan dengan desain struktur jembatan. Andamungkin sering melewati jembatan untuk menyeberangi sungai atau jalan.Menurut Anda, bagaimanakah kesetimbangan statis suatu jembatan jikadijelaskan secara Fisika? Suatu jembatan sederhana dapat dibuat dari batang pohon ataulempengan batu yang disangga di kedua ujungnya. Sebuah jembatan, walau-pun hanya berupa jembatan sederhana, harus cukup kuat menahan beratjembatan itu sendiri, kendaraan, dan orang yang menggunakannya. Jembatanjuga harus tahan terhadap pengaruh kondisi lingkungan. Seiring denganperkembangan jaman dan kemajuan teknologi, dibuatlah jembatan-jembatanyang desain dan konstruksinya lebih panjang dan indah, serta terbuat darimaterial yang lebih kuat dan ringan, seperti baja. Secara umum, terdapattiga jenis konstruksi jembatan. Marilah pelajari pembahasan kesetimbangangaya-gaya yang bekerja pada setiap jenis jembatan berikut.a.Jembatan kantilever adalah jembatan panjang yang mirip denganjembatan sederhana yang terbuat dari batang pohon atau lempenganbatu, tetapi penyangganya berada di tengah. Pada bagian-bagiannyaterdapat kerangka keras dan kaku (terbuat dari besi atau baja). Bagian-bagian kerangka pada jembatan kantilever ini meneruskan beban yangditanggungnya ke ujung penyangga jembatan melalui kombinasi antarategangan dan regangan. Tegangan timbul akibat adanya pasangan gayayang arahnya menuju satu sama lain, sedangkan regangan ditimbulkanoleh pasangan gaya yang arahnya saling berlawanan.Perhatikanlah Gambar 6.29. Kombinasi antara pasangan gaya yangberupa regangan dan tegangan, menyebabkan setiap bagian jembatanyang berbentuk segitiga membagi berat beban jembatan secara samarata sehingga meningkatkan perbandingan antara kekuatan terhadapberat jembatan. Pada umumnya, jembatan kantilever digunakan sebagaipenghubung jalan yang jaraknya tidak terlalu jauh, karena jembatan jenisini hanya cocok untuk rentang jarak 200 m sampai dengan 400 m.Sumber: anitas ocus.smugmug.comGambar 6.29Jembatan kantilever ini banyakdigunakan di Indonesia untukmenghubungkan wilayahantardaerah.b.Jembatan lengkung adalah jembatan yang konstruksinya berbentuk busursetengah lingkaran dan memiliki struktur ringan dan terbuka. Rentangmaksimum yang dapat dicapai oleh jembatan ini adalah sekitar 900 m.Pada jembatan lengkung ini, berat jembatan serta beban yang ditanggung
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar135oleh jembatan (dari kendaraan dan orang yang melaluinya) merupakangaya-gaya yang saling berpasangan membentuk tekanan. Oleh karenaitu, selain menggunakan baja, jembatan jenis ini dapat menggunakanbatuan-batuan sebagai material pembangunnya. Perhatikanlah Gambar6.30. Desain busur jembatan menghasilkan sebuah gaya yang mengarahke dalam dan ke luar pada dasar lengkungan busur.Gambar 6.30Salah satu contoh jembatanlengkung adalah jembatanRumpyang yang terdapat diKalimantan Selatan.Sumber: www.pu.go.idc.Jembatan gantung adalah jenis konstruksi jembatan yang menggunakankabel-kabel baja sebagai penggantungnya, dan terentang di antaramenara-menara. Setiap ujung kabel-kabel penggantung tersebutditanamkan pada jangkar yang tertanam di pinggiran pantai.Perhatikanlah Gambar 6.31. Jembatan gantung menyangga bebannyadengan cara menyalurkan beban tersebut (dalam bentuk tekanan olehgaya-gaya) melalui kabel-kabel baja menuju menara penyangga.Kemudian, gaya tekan tersebut diteruskan oleh menara penyangga ketanah. Jembatan gantung ini memiliki perbandingan antara kekuatanterhadap berat jembatan yang paling besar, jika dibandingkan denganjenis jembatan lainnya. Oleh karena itu, jembatan gantung dapat dibuatlebih panjang, seperti Jembatan Akashi-Kaikyo di Jepang yang memilikipanjang rentang antarmenara 1780 m.Gambar 6.31Jembatan Ampera yangterdapat di Sumatra Selatan inimenggunakan konstruksijembatan gantung dengan duamenara.Sumber: www.indomedia.com• Titik berat• Kesetimbangan• Kesetimbangan tiga gayaKata Kunci
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI136Kerjakanlah dalam buku latihan.1.Sebuah balok bermassa 80,5 kg tergantung pada duautas tali yang bersambungan seperti terlihat padagambar. Jika percepatan gravitasi Bumi g = 9,8 m/s2,tentukan besarnya tegangan pada tali horizontal A.2.Pada batang homogen seberat 200 N digantungkan beban440 N dengan panjang L (lihat gambar). Besar gaya yangdilakukan penyangga pada batang adalah ....a.FA= 210 N ; FB = 330 Nb.FA= 430 N ; FB = 210 Nc.FA= 200 N ; FB = 440 Nd.FA= 210 N ; FB = 430 Ne.FA= 440 N ; FB = 200 NSyarat kesetimbangan di titik A adalah Σ=A0τ.FAL= 200 N⎛⎞⎜⎟⎝⎠12L + 440 N⎛⎞⎜⎟⎝⎠14LFA= 100 N + 110 NFA= 210 NSyarat kesetimbangan di titik B adalah Σ=B0τ.FBL= 200 N ⎛⎞⎜⎟⎝⎠12L + 440 N⎛⎞⎜⎟⎝⎠34LFB= 100 N + 330 NFB= 430 NJawab: dSoal Fisika UMPTN’89 Rayon CSoal PenguasaanMateri 6.3Jika gesekan katrol diabaikan dan besar tegangantali T = 10 newton, tentukan w1 dan w2.3.untuk 1 m panjang AB massanya 1 kg. Jika massabeban A = 2 kg dan terletak 1 meter dari P, tentu-kanlah panjang PB.4.Batang AB beratnya 400 N danengselnya ditempatkan di A. Dititik C, batang AB itu diikatkanpada tembok dengan seutas taliyang massanya diabaikan. Jikasistem setimbang, hitunglaha.tegangan tali;b.besar gaya engsel, jikadiketahui sin 53° = 0,8.5.SPMBPembahasan Soal14LAB14LBAFAFA12LJawab:Pada gambar tersebut, batang AB yang homogendengan sebuah beban di ujung A, seluruhnya dalamkeadaan setimbang di atas penumpu P. DiketahuiBatang homogen AD panjangnya 8 m dan massanya80 kg, seperti terlihat pada gambar sedemikianhingga AB = 1 m dan BC = 5 m. Berapa besar massam maksimum yang masih dapat digantungkan padaD agar batang AD masih tetap dalam keadaansetimbang?2.000 N53°34L4LCBA80,5 kg45°45°w1w2TAPBA10 kgmBCD
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar1371.Momen gaya adalah penyebab terjadinya gerakrotasi.ττττ = r × F2.Momen inersia adalah ukuran kecenderungansuatu benda untuk mempertahankan keadaannyaterhadap gerak rotasi.3.Momen inersia partikel, I = mr2.4.Momen inersia kumpulan partikel, I = ∑mr2.5.Momen inersia benda tegar, I = ∫r2 dm.6.Momen inersia benda yang sumbunya dipindahkanparalel terhadap sumbu yang melalui pusat massabenda, I = IPM + md27.Momentum sudut adalah hasil perkalian antaramomentum linear benda dengan jarak terhadapsumbu rotasinya.L = r × p8 . Besarnya momentum sudut dirumuskan sebagaiL = Iω9 . Hukum Kekekalan Momentum Sudut.L1 = L2 →I1 ω1 = I2 ω210. Energi kinetik gerak rotasi.EKrot = 12Iω211. Energi kinetik total (pada benda menggelinding)EKtot = EKtrans + EKrotEKtot = 12mv2 + 12Iω212.Kopel dirumuskan sebagai berikut.M = Fd13. Syarat kesetimbangan benda tegar.∑F = 0∑ττττ= 0RangkumanSetelah mempelajari bab Gerak Rotasi dan KesetimbanganBenda Tegar, Anda dapat memformulasikan hubungan antarakonsep torsi, momentum sudut, dan momen inersia,berdasarkan Hukum Kedua Newton serta penerapannya dalammasalah benda tegar. Jika Anda belum mampumemformulasikan hubungan antara konsep torsi, momentumsudut, dan momen inersia berdasarkan Hukum Kedua NewtonKaji Diriserta penerapannya dalam masalah benda tegar, Anda belummenguasai materi bab Gerak Rotasi dan Kesetimbangan BendaTegar dengan baik. Rumuskan materi yang belum Andapahami, lalu cobalah Anda tuliskan kata-kata kunci tanpamelihat kata kunci yang telah ada dan tuliskan pula rangkumanserta peta konsep berdasarkan versi Anda. Jika perlu,diskusikan dengan teman-teman atau guru Fisika Anda.DinamikaGerak RotasiMomen Gaya()ττττMomen Inersia(I)MomentumSudut (L)Massa (m)MomentumLinear (p)besarannyaGerak LinearKesetimbanganBenda Tegar∑F = 0∑ττττ = 0Gaya (F)syaratnyadiaplikasikandalambesarannyaanalogianalogianalogiP e t aKonsep
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI138A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat dan kerjakanlah pada buku latihan Anda.1.6. Sistem katrol pada gambar berikutmemiliki data-data mK = 1 kg, mA = 2 kg,mB = 5 kg, dan katrol K dianggap sebagaisilinder pejal. Jika gesekan katroldengan poros dan massa tali diabaikan,serta g = 10 m/s2 maka percepatanbenda selama gerak adalah ....a.2 m/s2d.8 m/s2b.4 m/s2e.10 m/s2c.6 m/s27 . Jika massa katrol 10 kg dan jari-jarinya 25 cm, percepatan bendayang massanya 5 kg dan digan-tungkan pada katrol adalah ....a.7,5 m/s2b.10 m/s2c.2,5 m/s2d.5,0 m/s2e.4,0 m/s28. Sebuah silinder pejal (I = 12mR2) dilepas tanpakecepatan awal dari puncak suatu bidang miring yangkasar dan tanpa slip, serta kemiringannya membuatsudut θ terhadap bidang horizontal. Jika percepatangravitasi g maka silinder tersebut akan ....a.meluncur dengan percepatan g sinθb.menggelinding dengan percepatan g sinθc.meluncur dengan percepatan 12sinθd.menggelinding dengan percepatan 12g sinθe.menggelinding dengan percepatan 23g sinθ9. Dua benda bermassasama, yaitu 4 kg dihu-bungkan dengan seutastali melalui sebuah ka-trol, seperti ditunjukkanpada gambar. Apabilamassa katrol 4 kg, waktuyang diperlukan m2 un-tuk menyentuh lantaiadalah .... (pada awalnyabenda berada dalam keadaan diam).a.2 sekond.5 sekonb.5sekone.55 sekonc.25sekon10. Dua benda, yaitu A dan B yang masing-masingbermassa 2 kg dan 4 kg dihubungkan dengan seutastali melalui sebuah katrol bermassa 2 kg dan berjari-Beberapa bola dihubungkan dengan batang sepertipada gambar di atas. Besar momen inersia sistemyang berporos di titik P adalah ....a.1,46 kgm2d.170 kgm2b.1,66 kgm2e.190 kgm2c.2,90 kgm22.Sistem yang terdiri atas bola A, B,dan C yang posisinya seperti tam-pak pada gambar, mengalami gerakrotasi. Massa bola A, B, dan Cmasing-masing 3 kg, 4 kg, dan 2 kg.Momen inersia sistem tersebut jikaBC = 0,4 m adalah ....a.0,04 kgm2d.0,28 kgm2b.0,18 kgm2e.0,96 kgm2c.0,24 kgm23.Suatu batang homogen bermassa 4 kg denganpanjang 3 m diputar melalui poros yang terletak 1 mdari salah satu ujung batang. Momen inersia batangtersebut adalah ....a.4 kgm2d.7 kgm2b.5 kgm2e.8 kgm2c.6 kgm24.Pada sebuah roda gila yang memiliki inersia 4 kgm2diberi momen gaya sebesar 50 Nm. Jika roda gilamulai bergerak dengan kecepatan sudut 40 rad/s,sudut putaran yang ditempuh roda setelah 6 sekonadalah ....a.225 radd.315 radb.240 rade.465 radc.125 rad5.0,5 kg1 kgP0,8 kg60 cm100 cm100 cmACB0,4 m60°60°Batang AB dengan panjang L = 5 m dipengaruhioleh gaya-gaya seperti terlihat pada gambar. Apabilabatang dianggap tidak bermassa, resultan momengaya terhadap titik A adalah ....a.–170 Nmd.120 Nmb.–100 Nme.150 Nmc.–50 Nm100 N80 NF = 240 N40°37°60°80 N60 N50 N12LRsilinderpejalm1katrolm, Rm230 cmμk = 0,25Evaluasi Materi Bab 6AKTATBAB
Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar139jari 10 cm. Benda Aberada pada bidangmiring kasar dengankoefisien gesek 0,3.Benda B tergantungpada sudut bidangmiring 37°, seperti yangterlihat pada gambarberikut. Percepatan sistem ini adalah ....a.2,3 m/s2d.3,4 m/s2b.2,4 m/s2e.3,5 m/s2c.3,3 m/s211. Dua bola bersinggunganseperti gambar di samping.Panjang jari-jari bola A duakali jari-jari bola B. Jika mo-mentum sudut kedua bola sama, perbandinganmomen inersia bola A dan bola B adalah ....a.2d.4b.0,5e.2c.0,2512. Seorang penari balet dengan tangan terentangberputar dengan kecepatan sudut ω di atas lantaimendatar yang licin. Jika penari tersebut melipattangannya, momen inersianya akan berkurangsebesar 25% dari semula. Perbandingan energikinetik rotasi penari saat tangan dilipat dengantangan terentang adalah ....a.14d.45b.34e.4c.4313. Sebuah roda berputar terhadap suatu sumbudengan kecepatan sudut 810 rpm. Roda kedua yangmula-mula diam dengan momen inersia 2 kali rodapertama, tiba-tiba digabungkan pada sumbu yangsama dengan roda pertama. Persentase energikinetik yang hilang akibat penggabungan keduaroda adalah ....a.25%d.67%b.33%e.75%c.50%14. Seorang penari balet berputar dengan tangan teren-tang pada kecepatan 90 rpm di atas lantai licindengan momen inersia 6 kgm2. Kemudian, keduatangannya dilipat menyilang di dadanya. Pasanganyang mungkin dari ωdan I pada kondisi akhirtersebut adalah ....a.ω = 60 rpm dan I = 9 kgm2b.ω = 120 rpm dan I = 4,5 kgm2c.ω = 125 rpm dan I = 4,0 kgm2d.ω = 140 rpm dan I = 3,5 kgm2e.ω = 150 rpm dan I = 3,0 kgm215. Sebuah bola pejal yang terbuat dari besi bergerakmenggelinding pada lantai datar dengan kelajuan54 km/jam. Massa bola 2 kg dan berdiameter 40 cm.Energi kinetik total bola adalah ....a.90 Jd.400 Jb.225 Je.525 Jc.315 J16. Diketahui tg34=α, tg43=β,m2 = 4 kg, dan g = 10 m/s2maka nilai m1 dan T2 agarsetimbang adalaha.2,4 kg dan 32 Nb.3,2 kg dan 24 Nc.2,4 kg dan 24 Nd.3,2 kg dan 32 Ne.4,0 kg dan 24 N17. Sistem benda berada dalamkeadaan setimbang sepertiyang terlihat pada gambar.Apabila g = 10 m/s2, besartegangan tali T dan sinαadalah ....a.50 N dan 35d.60 N dan 37b.50 N dan 45e.40 N dan 35c.60 N dan 4618.Dari sistem pada gambar berikut, diketahui massabenda B = 40 kg dan massa benda C = 50 kg. Massabenda A agar sistem setimbang adalah ....a.80 kgd.50 kgb.70 kge.40 kgc.60 kg19. Diketahui sistem bendadalam keadaan setimbang,seperti gambar di samping.Batang AB homogen pan-jangnya 4 m dan massanya10 kg. Gaya tegangan tali jikabeban m = 120 kg adalah ....a.1.300 Nb.2.500 Nc.2.800 Nd.3.000 Ne.5.000 N20. Tangga AB yang panjangnya 5 m dan massa 5 kgdisandarkan pada dinding vertikal yang licin. UjungA terletak pada dinding dan ujung B terletak padalantai. Ujung A terletak 4 m di atas lantai. SeorangTATBABP37°RARB30 N4 kgTαAB30°CT2T1m2m1TaliABC60°m
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI140B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar pada buku latihan Anda.1.Suatu batang homogen bermassa m dengan panjangl diputar melalui poros yang terletak padapertengahan batang sehingga momen inersia batangIpm =112ml2. Jika sumbu putar (poros) terletak padajarak 14l dari salah satu ujung batang, berapakahmomen inersia batang tersebut?2.6.yx200 g100 g300 g5 cm5 cm10 cm04 kg4 kgT2m2m14 kgT130°ABSuatu motor listrik memutar roda A yang berjari-jari10 cm. Roda A dihubungkan dengan roda B yangberjari-jari 50 cm seperti tampak pada gambar. Jikamotor memberikan energi sebesar 1 joule pada rodaA dan momen inersia roda A adalah 5 × 104 (sistemdalam satuan cgs.), tentukanlah kecepatan sudutroda B jika massa B diabaikan.3.Tiga benda dipasang pada ujung kerangka yangmassanya dapat diabaikan. Jika sistem diputarterhadap sumbu-y, berapakah momen inersiasistem?4.Sebuah batu gerinda memiliki massa 4 kg dandiameter 20 cm. Ketika momen gaya dikerjakan, batugerinda mencapai kecepatan sudut 1.200 rpm dalam10 sekon. Jika pada saat awal batu gerinda dalamkeadaan diam, berapakah resultan momen gayayang bekerja?5.Jika g = 10 m/s2 dan permukaan bidang licin,tentukanlah:a) percepatan benda, danb) tegangan tali T1 dan T2.Sebuah satelit berbentuk silinder memiliki diameter2 m, massa 1.000 kg, dan berotasi dengan laju 30πrpm. Oleh karena ada perbaikan, satelit tersebutharus dihentikan. Dua roket kecil yang terpasangberseberangan pada satelit, menghasilkan gayadorong 20 N dan menyinggung satelit, seperti yangterlihat pada gambar. Berapa lama roket harusdijalankan agar satelit berhenti berotasi?7.Sebuah bola bowling pada gambar memiliki berat70 N. Bola itu diam dan terletak pada dinding yanglicin. Jika bola dianggap homogen, tentukan gaya-gaya yang dikerjakan dinding pada bola di titik Adan B.8.6 kg30°mSistem pada gambar berada dalam kesetimbangan.Jika gaya gesek maksimum pada balok adalah 15 N,tentukanlah:a.koefisien gesekan antara balok dan meja, danb.nilai maksimum m.A60°30°Banak yang massanya 30 kg menaiki tangga sampaisuatu ketinggian berjarak 2 m dari A. Koefisien gesekantara tangga dengan lantai pada saat tangga akantergelincir adalah ....a.0,25d.0,44b.0,27e.0,5c.0,35